こんにちは！篠原です！
今日は数学の中でも特に美しいとされる「黄金比」についてのお話の続きです
前回は「黄金比とは何か？」というお話でしたが、
今回は塾の先生らしく実際に出題された大学入試問題を通して黄金比を観察・考察していきます
イントロダクション
黄金比とは？
大学入試数学と黄金比
黄金比を背景とした大学入試数学は以下2つが殆どですね～
- 正五角形問題（今回のテーマ)
辺と対角線の比が黄金比
- フィボナッチ数列（次回のテーマ）
一般項がx2-x-1=0の異なる2解で表せる
隣接二項間の比の極限が黄金比
(細かいものをあれこれ挙げまくってもキリがないのでとりあえずこの2つで)
正五角形問題
ぜひ一度考えてから解答を読んでみてくださいね～！
解答
正五角形の辺と対角線の長さの関係式を示す証明問題ですね！
定番の証明方法は相似を用いるか余弦定理を用いることですが、
私は記述量が少なくて済むトレミーの定理が好きです
以下、解答
では次
BC:ADが黄金比であること、BC//ADであることを利用します
黄金比の値は既知のものとせず、一応(1)の結果から求めましょうか
以下、解答
では次
(1)でトレミーの定理を使った弊害が出ました…
相似を用いていればこの問題の記述が楽だったからです…
仕方ない、切り替えていきましょう
以下、解答
では次
Snは等比数列になるので無限等比級数の問題になりそうですね！
等比級数の公式を用いるのはいいんですが、S1を求めに行くのは少し面倒です
Sk/S1を求めて楽をしましょう！
以下、解答
まとめ
幾何的な話から始まり、ベクトルと数列を経由して、最終的には極限に持ち込む問題でした！
選り取り見取りの欲張りセットですねぇ
その中で黄金比を用いていろいろな長さを表すことに成功しました！
よく観察すれば日常的に見かける様々な図形に黄金比が発見できるかもしれませんね
とても楽しい問題でした！それではまた次回～！
今日ファミレスで食べたもの
しらす丼とつけ麺のセットとかき氷とパフェ
さすがに食べ過ぎましたよこれは
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