アイス好きの講師日記8【定積分おもしろ問題】

こんにちはァ！篠原ですッ！！

本来の予定では今回は！

アイス好きの講師日記8【黄金比③(大学入試問題での扱い・類題あり)】

を載せる予定でしたが！

急遽予定を変更してこちらの記事を書いてますッ！！

ではなぜ予定を変更したかというとですね！

とても面白い問題を見つけたからですッ！！！

イントロダクション

この間、高３理系の生徒からとあるゲームを教えてもらいました

それがこちら「積分ガチャ」です

積分ガチャ | おいしい数学

数学Ⅲの積分計算の問題がランダムで5題出ます．圧倒的熱意がここに．

hiraocafe.com

こちらのサイト「おいしい数学」さんは拝見したことがあったんですが

こういったゲームがあることは知りませんでした

で、こちらの積分ガチャ

ガチャを回すと５問の積分問題が放出されます

基本的には初級・中級・上級の３段階の難易度になっています

が！

時々SSR演出が挟まり超難問の超級が出題されるそうです(しかも超級は解答がついてません)

それを上述の生徒が「先生はこれ解けます…？やっぱ無理ですか…？」と聞いてきたんですね…

先生を試すなんて100年早いってことを教えてやろう…！！

問題と観察と解答(解説ではないです)

はい、こちらがその問題になります

是非一度考えてから読んでくださいね～！

では以下、観察と解答です

＜観察＞

• 分数式　→　分子を簡単にしたい
• 平方根　→　平方根ごと置換？
• 複二次式　→　因数分解できる？→部分分数？
• なんとなく　→　tanで置換？

とりあえずt=x^2,t=√x^4-x^2+1,tanΘ=x,tanΘ=x^2と置換してみましたが

あまりうまくはいきませんでした…

さてどうするか

生徒には大きなことを言ってしまった手前、今更できないでは済まされない

ここは我々の伝家の宝刀ともいうべきあのセリフしかないですね

そしてこの問題を持ち帰り、家でじっくり考えて出た結論は

「結局分子が簡単にならないと上手くいかないよこれ」

込み入った分数式は分母を分配して被積分関数を複数個に分けるのが鉄板だと思うのですが

今回は全体に巨大な√がついているせいで、それができないわけです

何とかしてこの√を無くす方法がないか…

ん…？√を無くす…？

よく考えたらこの分子の形は二重根号…？

・・・

・・・・・・

・・・・・・・・・

・・・・・・・・・・・・

・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・！！！！

複二次式の因数分解から二重根号が外せることにすぐに気づくべきでした

今にして思えばとてもあざとい形をしています…！！

というわけで以下、解答(途中まで)

さて、ここからはよく見かける形ですね

分母を平方完成してx+√3/2=1/2tanΘと置換しましょう！

以下、解答(続き)

置換後の被積分関数が1/cosΘなので分母分子にcosΘをかけて

cosΘ/1-sin^2Θを部分分数分解します

分母の微分が分子にあるので原始関数は対数になりますね！

さあいよいよラストです！

以下、解答(最後まで)

追記

積分定数C=0のときを考える、としていませんでした。うっかりです。

終わりに

今まで生徒に聞かれた問題の中で最も苦労しました　あー疲れた

二重根号以外の知識はそれぞれ積分問題のセオリー通りですが

それらがここまでごちゃ混ぜで出されると大変ですね

別解、改善点、間違いのご指摘などたくさんお待ちしています！

正直解答が敢えて用意されていないものをこうして記事にするのもどうなのかとも思ってます…大丈夫でしょうか…