こんにちは！篠原ですッ！！
今日は以前こちらの記事で紹介した積分ガチャの漸化式バージョンを解いてみたいと思います！
というかまた生徒から
「実は漸化式ガチャもあるんですけど…解けます…？」
と挑戦を申し込まれたのです…
またかよ…
問題と観察と解答(解説ではないです)
はい、こちらがその問題になります。
是非一度考えてから読んでくださいね～！
では以下、観察と解答です。
＜観察＞
- ただの連続3項間漸化式 … 基本に則って解けそう？ただ数字が汚くなりそう
- 特性方程式x2-x+1=0の解は-1の虚数三乗根(1の六乗根)になる … 極形式を用いて簡単な表記ができるかも
いざ解いていくわけですが、
本問では三項間漸化式の基本的な解法がそのまま使えるのでとりあえず手を動かしてみます。
このような定数あり三項間漸化式はいくらか置き換え方があります。
今回は受験で最も重要なa(n+1)=pa(n)+q型漸化式に帰着するように置き換えてみましょうか。
というわけで以下、解答(途中まで)
うーん、やはり煩雑…でもまぁ仕方ないですね。
さて、ここから③と④の差を取ってa(n+1)を消去します。
以下、解答(一般項を求めるまで)
これで一般項が求まりました！
疲れましたが、楽しいですね～。
紆余曲折しながらも、なんとか答えを出して
それが正しい結果だったときの達成感こそが受験数学の醍醐味ですよね！
おまけ
さて、ここからは余談になります。
定数なし三項間漸化式は特性方程式が相異なる2解をもつとき次のような形になることが知られています。(α,βは特性方程式の解)
(一般項)=Aαn+Bβn
更にα,βを極形式で表しド・モアブルの定理を用いることで次のように表せます。
(一般項)=rn｛Ccos(nΘ)+Dsin(nΘ)｝
証明は面倒くさいのでしません。
状況次第で異なる形にもなりますし（今回定数あるし）、公式として使うのは微妙なので
三角関数を用いてこんな形にできるときがあるらしい？というふわふわ認識だけ持っておくといいと思います。
それでは先ほどの問題を極形式を用いて三角関数で表現してみますか！
以下、解答
と、まあこんな具合にあの複雑な一般項がここまでシンプルになるんですよね！
これは中心(2,0)で半径が2の円の円周を、6等分する点（下図の青い点）のx座標を意味します。
a(n)が3,1,0,1,3,4を1周期として繰り返す数列であることがわかります。
一般項からa(n)があまり大きくない周期をもつ数列であるとわかったことで多少天下り的ですが次のような解答も作れるのが面白いですね。
整数・数列問題における代入実験の重要性を再確認させられました。
終わりに
さすが超級というべきか、たった1つの問題から得られる学びがすごく多いです。
とりあえずこの記事を生徒に読ませれば講師としての面目は保てるかな…。
はい、以下アイス。
チョコは濃ゆい
おもちは優しい甘さ
おいしいなぁ
コメント