こんにちは！篠原です！
今日は黄金比シリーズのラストですッ！
黄金比をフィボナッチ数列の大学入試問題を通して観察・考察していきましょう！
イントロダクション
黄金比とフィボナッチ数列の関係とは？
フィボナッチ数列問題
ぜひ一度考えてから読んでくださいね～！
解答
フィボナッチ数列であることを示す問題ですね！
an=1/√rnとでもおけば見慣れた漸化式an+2=an+1+anになります！
まずは図示することで状況を探ってみましょう！
円と円が接しているときは中心間距離と半径の和や差を用いて関係を表します。
nの偶奇で場合が分かれるかも？と思ってしまう人がいるかもしれませんが、特に必要ないです。
気になる人は実際にやってみるといいですよ！
以下解答
(x軸に接して、更に２つの円に外接する円から漸化式を立てる問題は頻出のテーマです)
では次
要はこの隣接３項間漸化式を解けということですね。
特性方程式の解を利用して式変形を行う典型問題ですが、
解の値が少々複雑なので経験したことがないと戸惑うかもしれません。
また文字と数の対応次第で解答が一通りではないので、
一度問題用紙の余白などにササっと一般項を求めてから、
どの文字をどの数に対応させるかを考えて解答を書くといいと思います。
以下解答
では次
(2)の結果からrn/knを計算・変形して等比数列の形を作りましょう！
あとは等比数列が収束する条件からkの値を定めるのですが、
正の値に収束させるので思考停止で収束条件を使うわけにはいきませんね
以下解答
まとめ
円が外接しあっているときにはフィボナッチ数列が隠れているという問題でした！
図形から漸化式を立てるのが苦手な生徒は結構多い印象です。
これいつ食べたんだっけ…
おいしかったと思います
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