アイス好きの講師日記19【包絡線・福岡教育大学2013】

こんにちはッッ篠原ですッッ

なんとなく昔の記事を眺めているとこのブログが開設して2年も経つことに気付きました

その割に記事が少ないな…？

以前、村上先生が書かれた万華鏡工作イベントについての記事を読み直して、そこはかとない懐古を覚えたので今日はそれに纏わる数学についてお話しますね

包絡線
高校数学での扱い
福岡教育大学2013
はいアイス

包絡線

さて、この万華鏡工作にはその過程で↓のような作業があります

・10cm×10cmのミラーシートを用意する

・左下の角から右下の角に向かって1cmおきに印をつける(この印をxnとする,但し1≦n≦9)

・左上の角から左下の角に向かって1cmおきに印をつける(この印をynとする,但し1≦n≦9)

・xnとynを結んだ9本の直線上をカッターナイフでなぞり傷をつける

図↓

そうすると直線群の通る領域と通らない領域の境界に滑らかな曲線があるように見えます

直線群は全てこの曲線に接していて,曲線上の点は全て直線群のいずれかとの接点となっています

そのような曲線を包絡線と言います

そして包絡線は次の手順で求めることができます

直線群をx,yを変数とし、またtをパラメータとして↓の①のように表す　

f(x,y,t)=0　…①

また①をtで偏微分したものを↓のように②とする

\frac{\partial}{\partial t}f(x,y,t)=0　…②

この①②からtを消去する

では具体例として上記ミラーシート上に現れる包絡線を求めてみましょうか

ということで↓

<補足>

終盤で使っているx^a+y^a=p^aはa=2で円の方程式になり、a=2/3でアステロイドになります

高校数学での扱い

この包絡線、高校数学では通過領域問題でなかなかの力を発揮します

通過領域問題の解法といえば以下の2通りの手法ですよね

①順像法(一文字固定し取り得る値の範囲を求め、その後固定した文字を動かす手法)

②逆像法(tの方程式とみてtが実数解を持つx,yの条件を考える手法)

(①②の解説は割愛)

では①②と違い包絡線を利用すると何が嬉しいのか？というと通過領域が視覚的に分かることです

やはり目で見てわかるというのは非常に強力かつ効果的です

では入試問題で演習してみましょう

福岡教育大学2013

(1)は極めて平易な問題ですね

色々な解法が考えられますが、どんなものを選んでも思考時間・記述量に殆ど差はないでしょう

お好きなやつでどうぞ

以下(1)解答↓

(2)が本番です

媒介変数s,tを如何にして消去し、x,yの関係式を導けるかがカギですね

以下(2)解答↓

<補足>

・途中使ってる有名な恒等式は二平方恒等式というやつです、(x+y)²+(x-y)²=2(x²+y²)の形で稀に使うので覚えておくといいでしょう

・s²+t²=8のような二次方程式ではs,tをcosΘ,sinΘでおくのは本問に限らず定石です！文字の数を減らせる上に扱いやすい三角関数の問題に帰着させられます！

・もし包絡線を用いず解答を作る場合は,逆像法でs,tを変数ととらえ円s²+t²=8とxs+yt-2x-2=0が実数解をもつ条件を考えるのがいいでしょう
「実数s,tが存在するためには,円 $s^2+t^2=8$ と直線 $xs+yt-2x-2=0$ が共有点を持てばよい.
つまりs,tの存在条件は $\dfrac{|0+0-2x-2|}{\sqrt{x^2+y^2}}\leq2\sqrt{2}(x\neq0かつy\neq0)$ であり,これを整理すると楕円の外側であることがわかる.」
という内容で解答を作るのが簡潔かつ早いと思います(包絡線よりずっと簡単…)
因みにx=y=0は不適です